二次不等式の概要
二次不等式とは、一般的にはax² + bx + c > 0、ax² + bx + c < 0、ax² + bx + c ≥ 0、またはax² + bx + c ≤ 0のように表される不等式のことを指します。ここで、a、b、cは実数であり、aは0でない必要があります。二次不等式は二次関数のグラフの特性を利用して解くことができます。
すべての実数に対する解の探索
二次不等式の解を考える際、まずその関数のグラフを描くことから始めます。関数のグラフは放物線の形を持ち、aが正の場合、グラフは上に開き、aが負の場合は下に開きます。実数全体に対する解を求めるためには、まず判別式D = b² – 4acを計算します。
判別式の役割
判別式Dの値によって、不等式の解の数が決まります。以下のように分類されます：
- D > 0：二次不等式には2つの異なる実根が存在する。
- D = 0：二次不等式には1つの重解が存在する。
- D < 0：二次不等式には実根が存在しない。
この判別式Dの値を基に、具体的にどの区間で不等式が成り立つのかを分析することが可能です。
具体例と解法
例えば、以下の二次不等式を考えてみましょう。
3x² – 2x – 8 < 0の場合：
- 係数を確認する：a = 3, b = -2, c = -8
- 判別式を計算する：D = (-2)² – 4 × 3 × (-8) = 4 + 96 = 100
- 二次不等式の根を求めるための式を使用する：x = [-b ± √D] / 2a から根を求めます。
このようにして、具体的な数値を代入することで、不等式の解が得られます。
参考リンク
Quadratic Inequalities | Math is Fun
Solving Quadratic Inequalities | Khan Academy